הראו כי האנרגיה העצמית של כדור טעון אחידות ברדיוס R ומטען כולל Q היא U=\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R}.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 10
אנרגיה עצמית של כדור טעון אחידות
ניסוח מלא
פתרון
נחשב בשלוש דרכים שונות:
1. נביא את המטען בקליפות כדוריות מאינסוף ונחשב כמה אנרגיה כל התהליך לוקח:
dU=\frac{Q\left(r\right)}{4\pi\varepsilon_{0}r}\cdot dQ=\frac{Qr^{3}/R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}r}\cdot\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}Q=\frac{3Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{6}}r^{4}
U=\intop^{R}_{0}dU=\intop^{R}_{0}\frac{3Q^{2}r^{4}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{6}}dr=\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R}
2. נחשב ישירות לפי הנוסחא לאנרגיה של התפלגות מטען. השדה החשמלי הוא:E=\begin{cases}
\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} & r>R\\
\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}} & r<R
\end{cases}
לכן הפוטנציאל הוא:
\begin{align*}
V\left(r>R\right) & =-\int^{r}_{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int^{\infty}_{r}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\\
V\left(r<R\right) & =V\left(R\right)-\int^{r}_{R}\vec{E}\cdot d\vec{r}=V\left(R\right)+\int^{R}_{r}\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{Q}{8\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\left(R^{2}-r^{2}\right)=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\left(3R^{2}-r^{2}\right)
\end{align*}
מפה האנרגיה הכוללת
U=\frac{1}{2}\int Vdq=\frac{1}{2}\int^{R}_{0}\frac{Q}{8\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\left(3R^{2}-r^{2}\right)Q\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{3Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}R^{6}}\left[R^{5}-\frac{R^{5}}{5}\right]=\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R}
3. נשתמש בצפיפות אנרגיה של שדה:
\begin{align*}
U & =\int^{\infty}_{0}\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot4\pi r^{2}dr=2\pi\varepsilon_{0}\left(\int^{R}_{0}\left(\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\right)^{2}\cdot r^{2}dr+\intop^{\infty}_{R}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\right)^{2}r^{2}dr\right)\\
& =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{R^{5}}{5R^{6}}+\frac{1}{R}\right)=\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R}
\end{align*}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.