חשבו את הפוטנציאל בכל המרחב ואת הכוח הפועל על מטען q ב-z=d>0 בכל אחד מהמקרים הבאים: בנוכחות מישור מוליך ב-z=0, בנוכחות כדור מוארק ממורכז בראשית ברדיוס R<d וכדור מוליך ניטרלי.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 12
מטען ליד מישור מוליך, כדור מוארק וכדור מוליך והכוח ביניהם
ניסוח מלא
פתרון
נשתמש בשיטת הדמויות/מטעני מראה.
מישור מוליך: המישור מחלק את המרחב לשניים ולכן צריך לפתור בכל אחד מהצדדים בנפרד. המישור מגיע לאינסוף כלומר אפקטיבית הוא מוארק ולכן הפוטנציאל עליו הוא V=0. אז מקיום ויחידות הפוטנציאל בכל המישור z<0 הוא V=0 שכן אין שם אף מטען. עבור חצי המישור z>0 נשים מטען דמות -q ב-z=-d. הפוטנציאל על המישור המוליך:
V\left(x,y\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}+\frac{-q}{4\pi\varepsilon_{0}}r
כלומר מתקיים תנאי השפה ולכן מקיום ויחידות השדה בחצי המישור z>0 הוא של סופרפוזיציה של המטען ומטען הדמות:
V\left(x,y,z>0\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-d\right)^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+d\right)^{2}}}\right)
הכוח על המטען (ועל המישור מחוק שלישי) יהיה כמובן:
\vec{F}=q\vec{E}_{con}-\frac{-q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}d^{2}}\hat{z}
כדור מוארק: הכדור מוארק ולכן הפוטנציאל עליו יהיה V=0. אז כמו קודם הפוטנציאל בפנים הוא V=0. כעת נחפש מטען מראה כך שהפוטנציאל שייוצר מחוץ לכדור בדיוק יתאפס עליו. נסמן את מטען המראה ב--Q ונניח שהוא נמצא ב-z=D. עבור נקודה מסוימת במרחק r מ-q ו-r' מ-Q צריך שיתקיים:
V_{tot}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r'}=0\Rightarrow\frac{r}{r'}=\frac{q}{Q}
כלומר צריך שיחס המרחקים של כל הנקודות על הכדור משתי המטענים יהיה קבוע. זה בדיוק משפט אפולוניוס אשר קובע שהמקום הגאומטרי של כל הנקודות שיחס המרחקים שלהן משתי נקודות הוא קבוע הוא ספרה שנקראת ספירת אפולוניוס (או מעגל אפולוניוס בדו מימד). כלומר מובטח לנו שמטען מראה יחיד יעבוד ואנחנו רק צריכים להבין איפה לשים אותו כך שהכדור המוליך יהיה הספרת אפולוניוס של שתי הנקודות. נחשב לפי שתי הנקודות על ציר z.
\frac{d-R}{R-D}=\frac{d+R}{D+R}=\frac{q}{Q}
dD+\cancel{dR}-\cancel{RD}-R^{2}=-dD+\cancel{dR}-\cancel{RD}+R^{2}
D=\frac{R^{2}}{d}
\frac{q}{Q}=\frac{d+R}{D+R}=\frac{d+R}{\frac{R^{2}}{d}+R}=\frac{d}{R}
V\left(r>R\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-d\right)^{2}}}-\frac{R/d}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{R^{2}}{d}\right)^{2}}}\right)
\vec{F}=-\frac{q^{2}\cdot R/d}{4\pi\varepsilon_{0}\left(d-D\right)^{2}}\hat{z}=-\frac{q^{2}dR}{4\pi\varepsilon_{0}\left(d^{2}-R^{2}\right)^{2}}\hat{z}
נעשה את החישוב גם מפורשות ללא שימוש במשפט אפולוניוס. מספיק להוכיח עבור נקודה על הכדור במישור xz בגלל הסימטריה בין x ל-y.
\left(\frac{q}{Q}\right)^{2}=\frac{\left(z-d\right)^{2}+x^{2}}{\left(z-D\right)^{2}+x^{2}}=\frac{R^{2}+d^{2}-2dz}{R^{2}+D^{2}-2Dz}
\Rightarrow\frac{R^{2}+d^{2}}{R^{2}+D^{2}}=\frac{d}{D}=\left(\frac{q}{Q}\right)^{2}
נסמן x=\frac{d}{D}. אז
dD^{2}-\left(R^{2}+d^{2}\right)D+R^{2}d=0
D=\frac{\left(R^{2}+d^{2}\right)\pm\sqrt{\left(R^{2}+d^{2}\right)^{2}-4R^{2}d^{2}}}{d}=\frac{\left(R^{2}+d^{2}\right)\pm\left(d^{2}-R^{2}\right)}{d}=d,\frac{R^{2}}{d}
ולכן D=\frac{R^{2}}{d} ו-\frac{q}{Q}=\sqrt{\frac{d}{D}}=\frac{d}{R} ומכאן הפתרון ממשיך אותו דבר.
כדור מוליך ניטרלי: נסתכל על מעטפת גאוסית המקיפה את הכדור. אז לפי חוק גאוס המטען הכולל על המוליך שווה למטען הכולל של מטעני הדמות. מאחר שהכדור ניטרלי הפתרון האחרון לא יעבוד ונצטרך להוסיף מטען כך שהפוטנציאל עדיין יהיה קבוע אבל המטען הכולל יהיה 0. כדי לעשות זאת נוסיף מטען Q בראשית. לכן
V\left(r>R\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-d\right)^{2}}}-\frac{R/d}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{R^{2}}{d}\right)^{2}}}+\frac{R}{dr}\right)
\vec{F}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(-\frac{dR}{\left(d^{2}-R^{2}\right)^{2}}+\frac{R/d}{d^{2}}\right)\hat{z}=-\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{dR}{\left(d^{2}-R^{2}\right)^{2}}-\frac{R}{d^{3}}\right)\hat{z}
הערה: משהו משהו אינברסיה ואולי פוטנציאל אינברסי
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.