חשבו את הלחץ האלקטרוסטטי שפועל על משטח דק, כלומר את הכוח ליחידת שטח בהינתן השדה החשמלי משני צידיו E_{1\perp} (יוצא מהמשטח), E_{2\perp} (נכנס למשטח).
חשמל ומגנטיות · פיתוח 14
לחץ אלקטרוסטטי על משטח טעון
ניסוח מלא
פתרון
נסתכל על חתיכה ריבועית קטנה ונסמן את השדה שהיא יוצרת בנקודת המגע E_{patch}. נסמן את השדה מכל שאר המוליך והמטענים במרחב ב-E_{ext}. מאחר שאנחנו מסתכלים בנקודת המגע אז החתיכה הקטנה הקטנה מתפקדת כמישור אינסופי ולכן:
E_{patch}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\frac{E_{2\perp}-E_{1\perp}}{2}
E_{ext}=E_{1\perp}-E_{patch}=\frac{E_{2\perp}+E_{1\perp}}{2}
מכאן הלחץ שפועל על הלוח הוא הכוח כתוצאה מהשדה E_{2} של כל שאר המטענים:
P=\frac{F}{A}=\frac{\sigma AE_{ext}}{A}=\sigma E_{ext}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(E_{2\perp}-E_{1\perp}\right)\left(E_{2\perp}+E_{1\perp}\right)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(E^{2}_{2\perp}-E^{2}_{1\perp}\right)
לחילופין אפשר להתייחס לשפת המוליך כשכבה אחידה דקה מאוד בין y=0 ל-y=h שהשדה משתנה בתוכה בין E_{2\perp} ל-E_{1\perp}. מאחר ש-h מאוד קטן אפשר להניח שהשדה לא משתנה בכלל בכיוונים אחרים. חוק גאוס על תיבה בעלת שטח חתך A בין y=0 ל-y=y_{0}:
\frac{y_{0}}{\varepsilon_{0}h}\sigma A=\frac{Q_{in}}{\varepsilon_{0}}=\oiint\vec{E}\cdot d\vec{A}=E\left(y_{0}\right)A-E_{1\perp}A
E\left(y\right)=E_{1\perp}+\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\frac{y}{h}=E_{1\perp}\left(1-\frac{y}{h}\right)+E_{2\perp}\frac{y}{h}
כלומר השדה משתנה בצורה לינארית ולכן השדה הממוצע הוא E_{avg}=\frac{\left(E_{1\perp}+E_{2\perp}\right)}{2} והלחץ הוא:
P=\sigma E_{avg}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(E_{2\perp}-E_{1\perp}\right)\left(E_{2\perp}+E_{1\perp}\right)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(E^{2}_{2\perp}-E^{2}_{1\perp}\right)
הערה: שימו לב שזה מוכיח שבאופן כללי כאשר יש קפיצה בשדה החשמלי הערך שלו בדיוק בנקודת הקפיצה הוא הממוצע שלו בשני הצדדים.
בנוסף עבור מוליך השדה בפנים 0 והשדה בחוץ מאונך למוליך ולכן במקרה זה:
\sigma=\frac{E_{out}}{\varepsilon_{0}}
P=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}_{out}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.