חשבו את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי באורך L עם זרם קבוע I הנמצא בין הנקודות \left(0,0,-\frac{L}{2}\right),\left(0,0,\frac{L}{2}\right), בנקודה כללית \left(r,z\right) במרחב לפי אינטגרל. נצבר מטען בקצוות התיל שיוצר שדה חשמלי משתנה בזמן. חשבו את השדה המגנטי גם לפי חוק אמפר מקסוול.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 19
שדה מגנטי של תיל סופי לפי אינטגרל ולפי חוק אמפר-מקסוול
ניסוח מלא
פתרון
אינטגרל: נשתמש בחוק ביו-סבר. נסמן ב-\theta_{1},\theta_{2} (יכולות להיות שליליות) את הזוויות של קצוות התיל ביחס לאנך לנקודה. מאחר שכל אלמנט זרם מקיים d\vec{\ell}=dz\hat{z}, המכפלה הווקטורית d\vec{\ell}\times\hat{r}' מצביעה אך ורק בכיוון המשיקי \hat{\theta} (בשונה משדה חשמלי בו יש רכיב רדיאלי ורכיב צירי). נסמן z'=r\tan\theta:
dz'=r\sec^{2}\theta d\theta,\qquad r'=r\sec\theta
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{dz'\hat{z}\times\hat{r}'}{r'^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{dz'\cos\theta}{r'^{2}}\hat{\theta}
נציב ונבצע אינטגרציה: \vec{B}=\int^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\left(r\sec^{2}\theta d\theta\right)\cos\theta}{\left(r\sec\theta\right)^{2}}\hat{\theta}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\int^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}\cos\theta d\theta\hat{\theta}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\left(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1}\right)\hat{\theta}
כעת נציב את הזוויות \theta_{1},\theta_{2} לפי הגאומטריה של התיל לקבלת השדה המלא: \vec{B}\left(r,z\right)=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\left(\frac{\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{L}{2}-z\right)^{2}}}+\frac{\frac{L}{2}+z}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{L}{2}+z\right)^{2}}}\right)\hat{\theta}
אמפר מקסוול: נבחן לולאת אמפר מעגלית ברדיוס r סביב התיל. אם זרם I זורם למעלה, המטען בקצה העליון הוא q ובקצה התחתון -q, כך שמתקיים \dot{q}=I.
כדי לחשב את השטף החשמלי, נשתמש בחוק גאוס. השטף של מטען נקודתי דרך משטח פרופורציונלי לזווית המרחבית הנשענת עליו \Phi_{E}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\frac{\Omega}{4\pi}. לפי משפט האבטיח, עבור דיסק שתופס זווית ראש \alpha ביחס למטען הזווית המרחבית היא \Omega=4\pi\frac{1-\cos\alpha}{2} ולכן:
\Phi_{E}=\frac{q}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\cos\alpha_{1}\right)+\frac{q}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\cos\alpha_{2}\right)=\frac{q}{2\varepsilon_{0}}\left(2-\cos\alpha_{1}-\cos\alpha_{2}\right)
\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\frac{I}{2\varepsilon_{0}}\left(2-\cos\alpha_{1}-\cos\alpha_{2}\right)
נציב בחוק אמפר-מקסוול. זרם ההעתקה מקטין את הזרם הכולל מאחר והוא מצביע מטה בעוד הזרם מצביע מעלה: \oint\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}I-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}
B\left(2\pi r\right)=\mu_{0}I-\frac{\mu_{0}I}{2}\left(2-\cos\alpha_{1}-\cos\alpha_{2}\right)=\frac{\mu_{0}I}{2}\left(\cos\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}\right)
B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\left(\cos\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}\right)=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\left(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1}\right)
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.