שדה חשמלי של מישור אינסופי,תיל, גליל, כדור טעונים אחידות (חלולים ולא חלולים)

זמן יעד: 4:00 (30 מישור 120 גליל + תיל 90 כדור) ⏱ ניסיון חדש

ניסוח מלא

חשבו את השדה בכל המרחב של מישור אינסופי טעון אחידות וגליל אינסופי וכדור טעונים אחידות חלולים ולא חלולים.

פתרון

נשתמש בחוק גאוס בכל המקרים.

מישור אינסופי: נניח שהמישור הוא z=0. נסמן את צפיפות המטען ב-\sigma. מסימטריה \vec{E}\left(z>0\right)=E\left(z\right)\hat{z} ו- \vec{E}\left(z<0\right)=\vec{E}\left(-z\right). נסתכל על תיבה בעלת שטח חתך A מאונכת למישור שחותכת אותו. חוק גאוס:

\frac{A\sigma}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q_{in}}{\varepsilon_{0}}=\oiint\vec{E}\cdot d\vec{A}=2E\left(z\right)A

E\left(z\right)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}

\Rightarrow E\left(z\right)=\begin{cases} \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} & z>0\\ -\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} & z<0 \end{cases}

גליל ותיל אינסופיים: נסמן את רדיוס הגליל ב- R. נתחיל מחישוב כללי עבור התפלגות בעלת סימטריה גלילית. נסמן ב-r את המרחק מציר הסימטריה. אז מסימטריה \vec{E}=E\left(r\right)\hat{r}. נסתכל על מעטפת גאוס גלילית ברדיוס r ואורך L. אז:

\frac{Q_{in}}{\varepsilon_{0}}=\oiint\vec{E}\cdot d\vec{A}=2\pi rLE\left(r\right)

E\left(r\right)=\frac{Q_{in}/L}{2\pi r\varepsilon_{0}}

עבור תיל בעל צפיפות מטען אורכית \lambda מתקיים Q_{in}=\lambda L ולכן

E_{wire}=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_{0}}

עבור גליל חלול עם צפיפות מטען משטחית \sigma אם r>R אז Q_{in}=2\pi RL\sigma ואחרת Q_{in}=0 ולכן:

E_{hollow}\left(r\right)=\begin{cases} \frac{\sigma R}{r\varepsilon_{0}} & r>R\\ 0 & r<R \end{cases}

עבור גליל מלא עם צפיפות מטען \rho אם r>R אז Q_{in}=\pi R^{2}L\rho ואחרת Q_{in}=\pi r^{2}L\rho ולכן:

E_{full}\left(r\right)=\begin{cases} \frac{\rho R^{2}}{2r\varepsilon_{0}} & r>R\\ \frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}} & r<R \end{cases}

כדור: נסמן את רדיוס הכדור ב-R ונתחיל מחישוב כללי עבור התפלגות בעלת סימטריה כדורית. נסמן ב-r את המרחק מהמרכז. אז מהסימטריה \vec{E}=E\left(r\right)\hat{r}. ניקח מעטפת גאוס גלילית בעלת רדיוס r:

\frac{Q_{in}}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q_{in}}{\varepsilon_{0}}=\oiint\vec{E}\cdot d\vec{A}=4\pi r^{2}E\left(r\right)

E\left(r\right)=\frac{Q_{in}}{4\pi r^{2}\varepsilon_{0}}

עבור כדור חלול עם צפיפות מטען משטחית \sigma אם r>R אז Q_{in}=4\pi R^{2}\sigma ואחרת Q_{in}=0 ולכן:

E_{hollow}\left(r\right)=\begin{cases} \frac{\sigma R^{2}}{r^{2}\varepsilon_{0}} & r>R\\ 0 & r<R \end{cases}

עבור כדור מלא עם צפיפות מטען \rho אם r>R אז Q_{in}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho ואחרת Q_{in}=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho ולכן:

E_{full}\left(r\right)=\begin{cases} \frac{\rho R^{3}}{3r^{2}\varepsilon_{0}} & r>R\\ \frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}} & r<R \end{cases}

ניסיונות וטבלת שיאים

אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.

אין עדיין ניסיונות.