מעגל RLC במקור מתח קבוע

זמן יעד: 3:50 (העתקתי את הזמן מהפיתוח של תנועה הרמונית מרוסנת) ⏱ ניסיון חדש

ניסוח מלא

קבל C, נגד R, משרן L מחוברים בטור למקור מתח קבוע V_{0}מצאו את המטען על הקבל כתלות בתנאי ההתחלה Q\left(0\right)=Q_{0} , I\left(0\right)=I_{0}.

פתרון

V=\frac{Q}{C}+\dot{Q}R+\ddot{Q}L

נציב Q=CV+Q' וננחש Q'=Ae^{\lambda t}

0=\frac{1}{C}+\lambda R+\lambda^{2}L

\lambda_{\pm}=\frac{-R\pm\sqrt{R^{2}-4\frac{L}{C}}}{2L}=-\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}

נסמן \beta=\frac{R}{2L}, \lambda=\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}, \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}}:

\begin{cases} Q=CV+\left(Ae^{\lambda t}+Be^{-\lambda t}\right)e^{-\beta t} & R>2\sqrt{\frac{L}{C}}\\ Q=CV+\left(A+Bt\right)e^{-\beta t} & R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\\ Q=CV+A\cos\left(t+\phi\right)e^{-\beta t} & R<2\sqrt{\frac{L}{C}} \end{cases}

נציב תנאי התחלה:

\begin{cases} Q=CV+\left[\frac{Q_{0}-CV+\frac{I_{0}}{\lambda}}{2}e^{\lambda t}+\frac{Q_{0}-CV-\frac{I_{0}}{\lambda}}{2}e^{-\lambda t}\right]e^{-\beta t} & R>2\sqrt{\frac{L}{C}}\\ Q=CV+\left[Q_{0}-CV+\left(I_{0}+\frac{R}{2L}\left(Q_{0}-CV\right)\right)t\right]e^{-\beta t} & R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\\ Q=CV+\left[\left(Q_{0}-CV\right)\cos\left(\omega t\right)+\frac{I_{0}+\frac{R}{2L}\left(Q_{0}-CV\right)}{\omega}\sin\left(\omega t\right)\right]e^{-\beta t} & R<2\sqrt{\frac{L}{C}} \end{cases}

ניסיונות וטבלת שיאים

אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.

אין עדיין ניסיונות.