חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב של תיל סופי באורך L בין הנקודות \left(0,0,-\frac{L}{2}\right),\left(0,0,\frac{L}{2}\right) בעל צפיפות מטען אורכית \lambda.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 4
שדה חשמלי של תיל סופי
ניסוח מלא
פתרון
צריך לחשב את \vec{E}\left(z,r\right). עבור נקודה A כלשהי עם \left(z,r\right) נתונים נעשה פרמטריזציה לתיל לפי הזווית ב-A בין הנקודה על התיל לאנך לתיל.
נסמן ב-\theta_{1} את הזווית בקצה השמאלי וב-\theta_{2} של הימני. שימו לב שהן עלולות להיות שליליות. נחשב את השדה:
dq=\lambda d\left(r\tan\theta\right)=\lambda r\sec^{2}\theta
\vec{E}=\intop^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}\frac{\lambda r\sec^{2}\theta d\theta}{4\pi\varepsilon_{0}\left(r\sec\theta\right)^{2}}\cdot\left(\cos\theta\hat{r}+\sin\theta\hat{z}\right)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}r}\intop^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}\left(\cos\theta\hat{r}+\sin\theta\hat{z}\right)d\theta
\vec{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left[\left(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1}\right)\hat{r}+\left(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2}\right)\hat{z}\right]
כעת נציב את \theta_{1},\theta_{2}:
\vec{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left[\left(\frac{\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{L}{2}-z\right)^{2}}}+\frac{\frac{L}{2}+z}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{L}{2}+z\right)^{2}}}\right)\hat{r}+\left(\frac{r}{\sqrt{r^{2}+\left(z+\frac{L}{2}\right)^{2}}}-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+\left(z-\frac{L}{2}\right)^{2}}}\right)\hat{z}\right]
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.