חשבו את הכוח, המומנט והאנרגיה של דיפול חשמלי \vec{p}=q\vec{d} נקודתי (המורכב מזוג מטענים \pm q עם וקטור \vec{d} מהשלילי לחיובי) הנמצא בשדה חשמלי \vec{E}\left(\vec{r}\right).
חשמל ומגנטיות · פיתוח 7
מומנט אנרגיה וכוח של דיפול חשמלי
ניסוח מלא
פתרון
נתחיל מהאנרגיה:
U=qV\left(\vec{r}+\vec{d}\right)-qV\left(\vec{r}\right)=q\left(-\vec{E}\cdot\vec{d}\right)=-\vec{p}\cdot\vec{E}
מומנט: נשים לב שבקירוב פועל על המטענים כוח בדיוק הפוך ולכן המומנט לא תלוי בנקודה שסביבה מחשבים. נחשב סביב המטען השלילי:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{d}\times\left(q\vec{E}\right)=\vec{p}\times\vec{E}
כעת עבור הכוח:
\vec{F}=q\vec{E}\left(\vec{r}+\vec{d}\right)-q\vec{E}\left(\vec{r}\right)=\sum_{i}qd_{i}\frac{\partial\vec{E}}{\partial x_{i}}=\sum_{i}p_{i}\frac{\partial\vec{E}}{\partial x_{i}}=\left(\vec{p}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{E}
הערה: שימו לב שלא קיבלנו בדיוק \vec{F}=-\vec{\nabla}U. לפי זהויות וקטוריות זה כן מתקיים תחת שני תנאים. הראשון הוא שאנחנו עובדים באלקטרוסטטיקה, כלומר שהשדה החשמלי משמר (לחילופין \vec{\nabla}\times\vec{E}=0 ואין כא"מ כלומר שדה מגנטי משתנה בזמן). התנאי השני הוא ש-\vec{p} לא משתנה בזמן. מקרה שזה לא מתקיים למשל הוא חשמל בחומר שיש \vec{P}=\chi\vec{E}.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.