חשבו את הקיבול של קבל לוחות בעובי d ושטח A, קבל גלילי קואקסיאלי באורך L עם מוליכים ברדיוסים R_{1}<R_{2}\ll L וקבל כדורי קונצנטרי עם רדיוסים R_{1}<R_{2}.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 8
קיבול של קבל לוחות, קואקסיאלי, כדורי
ניסוח מלא
פתרון
נתחיל מקבל לוחות. אם יש מטען Q על כל אחד מהלוחות אז הפוטנציאל בין הלוחות הוא:
V=E\cdot d=2\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}d=\frac{d}{A\varepsilon_{0}}Q\Rightarrow C=\frac{Q}{V}=\frac{A\varepsilon_{0}}{d}
עבור קבל גלילי טעון במטען Q לגליל הפנימי יהיה מטען Q. מאחר ש- L\gg R_{1},R_{2} אז בכמעט כל הגליל המטען מתפלג אחידות מסימטריה ולכן מחוק גאוס:
2\pi rLE\left(r\right)=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}
V=\intop^{R_{2}}_{R_{1}}\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}Lr}dr=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}L}\ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)
C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)}
כעת עבור קבל כדורי קונצנטרי בעל מטען Q המטען יתפלג אחידות על המוליכים ולכן השדה ביניהם יהיה כמו של מטען Q בראשית:
E\left(r\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}
V=\intop^{R_{2}}_{R_{1}}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)
C=\frac{Q}{V}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}}{\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.