הראו שהאנרגיה של קבל היא U=\frac{1}{2}CV^{2}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot Ad והשתמשו בזה כדי להראות שהאנרגיה של התפלגות מטען כללית שיוצרת שדה \vec{E}\left(\vec{r}\right) במרחב היא U=\iiint\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}dV.
חשמל ומגנטיות · פיתוח 9
אנרגיה של קבל ושל שדה חשמלי
ניסוח מלא
פתרון
נחשב כמה אנרגיה לוקח לטעון את הקבל:
U=\intop dU=\intop^{Q}_{0}V\left(Q\right)dQ=\intop^{Q}_{0}\frac{Q}{C}dQ=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}CV^{2}=\frac{1}{2}\frac{A\varepsilon_{0}}{d}\left(Ed\right)^{2}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot Ad
קיבלנו שצפיפות האנרגיה היא \frac{dU}{dV}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}. כעת עבור התפלגות מטען כללית סופית נקרב את את השדה החשמלי שהיא יוצרת באמצעות קבלים. בכל נקודה במרחב קבל שיוצר בדיוק את השדה של הנקודה הזו. מאחר שקבלים יוצרים שדה רק בין שני הלוחות אין אינטראקציה ביניהם והאנרגיה פשוט נסכמת. אז:
U=\iiint\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}dV
הערה: שימו לב שלתוצאה הזו יש שתי מגבלות מרכזיות. הראשונה היא שכל התפלגות מטען הבנויה רק מקבלים היא ניטרלית. כשיש התפלגות מטען שהיא לא ניטרלית אז מה שקורה זה שהבנייה שלנו שולחת מטען לאינסוף כדי לסדר את זה. כאשר המטען הכולל סופי וחסום במרחב אז E^{2}\sim\frac{1}{r^{4}} והאינטגרל מתכנס. במערכות עם מטען אינסופי (כגון תיל או מישור אינסופי) השדה לא דועך מספיק מהר שכן המטען שנשלח לאינסוף אינו זניח והאנרגיה הכוללת מתבדרת.
הבעיה השנייה היא שעבור מטענים נקודתיים הנוסחא משייכת אנרגיה אינסופית. ניתן להבין אם נמדל מטען ככדור טעון אחידות עם רדיוס מאוד קטן אז אכן U\sim\frac{1}{R}\rightarrow\infty. שימו לב שבעיה זו אינה באמת מונעת מאיתנו להשתמש בביטוי מכיוון שהמבנה הפנימי של המטענים לא משתנה וכן המטען הכולל נשמר ולכן אנרגיה זו מהווה קבוע אדיטיבי (אמנם אינסופי) שאפשר להתעלם ממנו. כך למשל עבור מערכת של שני מטענים נוכל לכתוב:
U=\iiint\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left[\left(\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\right)^{2}-E^{2}_{1}-E^{2}_{2}\right]dV=\iiint\varepsilon_{0}\vec{E}_{1}\cdot\vec{E}_{2}dV=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{12}}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.