מים בעלי צמיגות \eta זורמים בצינור מלבני בעל מימדים a\ll b ואורך L בעל הפרש לחצים \Delta p בין צדדיו. מצאו את פרופיל הזרימה העמיד של המים.
מכניקת זורמים · פיתוח 13
זרימה בין שני לוחות עם הפרש לחצים
ניסוח מלא
פתרון
נסמן את ציר הזרימה ב-z את הציר עם מימד a ב-x ואת הציר עם מימד b ב-y. תחת הקירוב הצינור אינסופי בציר y ולכן השינוי בפרופיל הזרימה יהיה רק בציר x. משימור מסה וסימטריה הפרופיל לא יכול להיות תלוי ב-z ולכן \vec{v}=v\left(x\right)\hat{z}. תנאי השפה הם v\left(0\right)=v\left(a\right)=0. נכתוב את משוואת הכוחות על חתיכה בעובי dx\cdot dy ואורך L:
\sum F_{z}=-\eta Ldy\frac{dv}{dx}\left(x\right)+\eta Ldy\frac{dv}{dx}\left(x+dx\right)+\Delta Pdxdy=0
\frac{d^{2}v}{dx^{2}}=-\frac{\Delta p}{\eta L}
ולכן עם התחשבות בתנאי השפה נקבל:
v\left(x\right)=\frac{\Delta p}{2\eta L}\left(x\left(a-x\right)\right)=\frac{\Delta p}{2\eta L}\left(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}\right)
ניתן לעשות את הפיתוח גם בלי להסתכל על חתיכה דיפרנציאלית. כל אחד מהלוחות צריך להתנגד לחצי מהכוח של הלחץ כלומר:
F=\frac{ab\Delta p}{2}
לכן משוואת כוחות על חתיכת הנוזל מתחת ל-x:
\frac{ab\Delta p}{2}=bx\Delta p+\eta bL\frac{dv}{dx}
\frac{dv}{dx}=\frac{\Delta p}{\eta L}\left(\frac{a}{2}-x\right)
v\left(x\right)=-\frac{\Delta p}{2\eta L}\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+C
נדרוש את תנאי השפה v\left(0\right)=0 (לא צריך את v\left(a\right)=0 כי כבר הנחנו סימטריה בין הלוח העליון והתחתון):
v\left(x\right)=\frac{\Delta p}{2\eta L}\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}\right]
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.