עבור נוזל הנע במהירות v\left(x,t\right) לאורך צינור בעל שטח חתך A\left(x\right) מצאו משוואה דיפרנציאלית המתארת את צפיפות הנוזל \rho\left(x,t\right). מצאו חוק שימור במקרה שבו הצפיפות לא תלויה בזמן, כלומר \rho\left(x,t\right)=\rho\left(x\right). הניחו שהצפיפות אחידה לאורך כל חתך של הצינור.
מכניקת זורמים · פיתוח 2
משוואת הרציפות בחד מימד
ניסוח מלא
פתרון
נסמן J\left(x,t\right) צפיפות שטף המסה, כלומר כמה מסה עוברת ליח' זמן ליח' שטח דרך חתך שטח במיקום x ו-I\left(x,t\right) שטף המסה, כמות המסה שעוברת ליח' זמן דרך חתך שטח במיקום x. עבור נתוני השאלה
J\left(x,t\right)=\rho\left(x,t\right)v\left(x,t\right)\qquad I\left(x,t\right)=J\left(x,t\right)A\left(x\right)
נסתכל על חתך גלילי של הצינור בעובי dx אז:
dt\left(I\left(x,t\right)-I\left(x+dx,t\right)\right)=dm=A\left(x\right)dx\cdot d\rho\left(x,t\right)
-\frac{\partial I}{\partial x}=A\left(x\right)\frac{\partial\rho\left(x,t\right)}{\partial t}
A\left(x\right)\frac{\partial\rho\left(x,t\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho\left(x,t\right)\cdot v\left(x,t\right)\cdot A\left(x\right)\right)}{\partial x}=0
עבור המקרה שבו הצפיפות לא תלויה בזמן, הרימה עמידה ומתקבל:
\rho\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot A\left(x\right)=\const
עבור המקרה בו הצינור בעל שטח חתך קבוע:
\frac{d\rho\left(x,t\right)}{dt}+\frac{d\left(J\left(x,t\right)\right)}{dx}=0
הערה: באופן כללי עבור זורמים \vec{J}=\rho\vec{v} הוא שדה וקטורי שגודלו הוא כמות המסה הזורמת ביחידת זמן דרך יחידת שטח, וכיוונו הוא כיוון זרימת הזורם. ובאותה שיטת הוכחה אפשר למצוא משוואת רציפות תלת ממדית:
\frac{d\rho\left(x,t\right)}{dt}+\vec{\nabla}\cdot\vec{J}=0
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.