פתחו את משוואת ברנולי עבור זרימה יציבה של נוזל לא דחיס P+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=\const. פתחו לפי כוחות וגם לפי אנרגיות.
מכניקת זורמים · פיתוח 3
משוואת ברנולי
ניסוח מלא
פתרון
1. שיקולי אנרגיה - נסתכל על חלק מהתחום בתוכו הנוזל זורם. מכיוון שהזרימה עמידה כמות האנרגיה בתחום הזה קבועה או במילים אחרות כמות האנרגיה שנכנסת שווה לכמות האנרגיה שיוצאת. נסתכל על חתיכת מסה dm_{1} שנכנסת אז היא מכניסה איתה למערכת אנרגיה של:
dE=\frac{1}{2}dmv^{2}_{1}+dmgh_{1}+P_{1}dV_{1}
הרכיב P_{1}dV_{1} מגיע מכיוון שבכניסה של המסה אל התחום הם מפעילים לחץ P_{1} על הנוזל בתחום ולכן מבצעים עבודה של P_{1}dV_{1}.
מכיוון שהזרימה עמידה כשמסה dm נכנסת היא חייבת לצאת מהצד השני של התחום והיא לוקחת איתה אנרגיה של:
dE=\frac{1}{2}dmv^{2}_{2}+dmgh_{2}+P_{2}dV_{2}
עבור נוזל לא דחיס dV_{1}=dV_{2}. לכן נשווה בין הביטויים ונחלק בנפח:
P_{1}+\rho gh_{1}+\frac{1}{2}\rho v^{2}_{1}=P_{2}+\rho gh_{2}+\frac{1}{2}\rho v^{2}_{2}=\const
2. שיקולי כוחות - נסתכל על קו זרימה ונסמן את המרחק לאורכו ב-s. נסתכל על חתיכה גלילית באורך ds ושטח dA שנעה על קו הזרימה בזווית \alpha ביחס לכיוון הכבידה. אז מחוק שני של ניוטון:
\rho dAds\cdot\ddot{s}=-\rho gdAdz\cdot\cos\left(\alpha\right)-P\left(s+ds\right)dA+P\left(s\right)dA
\rho\ddot{s}=-\rho g\cdot\cos\left(\alpha\right)-\frac{dP}{dz}
עבור צפיפות קבועה נשתמש בקשר \ddot{s}=\dot{s}\cdot\frac{d\dot{s}}{ds}. לכן:
\rho\dot{s}\cdot d\dot{s}=-\left(\rho g\cdot\cos\left(\alpha\right)+\frac{dP}{ds}\right)ds=-\left(\rho gdh+dP\right)
P+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=\const
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.