הראו כי עבור משטח כללי בעל שני רדיוסי עקמומיות שונים R_{1},R_{2} מתקיים כי הפרש הלחצים בין החלק הפנימי של המשטח לחלק החיצוני הוא \Delta P=\gamma\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)
מכניקת זורמים · פיתוח 8
הפרש לחצים לפי רדיוסי עקמומיות
ניסוח מלא
פתרון
נפתור לפי שיקולי אנרגיה וגם לפי שיקולי כוחות. נסתכל על חתך שטח דיפרנציאלי dA בעל צלעות dx,dy .
הצלע dx היא קשת של מעגל ברדיוס R_{1}, הנוצרת מזווית מרכזית dθ_{x}. לכן:
dx=R_{1}d\theta_{x}
ואילו עבור הצלע dy היא קשת מעגלית של הרדיוס R_{2} לכן: dy=R_{2}d\theta_{y}
אנרגיה: נניח שהלחץ הפנימי דוחף את המשטח החוצה במרחק קטן \delta n בניצב למשטח. אז השטח החדש הוא:
dA'=\left(\left(R_{1}+\delta n\right)d\theta_{x}\right)\left(\left(R_{2}+\delta n\right)d\theta_{y}\right)=\left(R_{1}R_{2}+\delta n\left(R_{1}+R_{2}\right)+\delta n^{2}\right)d\theta_{x}d\theta_{y}
נזניח סדר שני ונשתמש בכך שהשטח המקורי dA=R_{1}R_{2}d\theta_{x}d\theta_{y}:
dA'=dA\left(1+\delta n\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\right)
\delta\left(dA\right)=dA\cdot\delta n\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)
לאחר שמצאנו את השטח החדש אפשר להשוות את השינוי באנרגיה בעקבות הלחץ ובעקבות המתח פנים:
\Delta P\cdot dA\cdot\delta n=\gamma\cdot\delta\left(dA\right)
\Delta P=\gamma\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)
כוחות: נחשב את הכוח הכולל בציר המאונך שפועל על החתיכה כתוצאה ממתח הפנים, כלומר מהסכום של כוח מתח הפנים על ארבעת הצלעות. על הצלע dx פועל כוח בכיוון y ולכן הרכיב בכיוון הנורמל הוא לפי d\theta_{2}:
dF_{1}=2\cdot\gamma dx\cdot\frac{d\theta_{y}}{2}=\frac{\gamma dA}{R_{2}}
dF_{2}=\frac{\gamma dA}{R_{1}}
הכוח הזה צריך לאזן את הלחץ:
\Delta PdA=dF_{1}+dF_{2}
\Delta P=\gamma\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.