הניחו את החוק הראשון של קפלר ואת קבועי האליפסה והראו שבבעיית קפלר עם מסות M_{1},M_{2} מתקיים T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}a^{3} כאשר a הוא מחצית הציר הראשי של האליפסה ו-T זמן המחזור.
כבידה · פיתוח 15
חוק שלישי של קפלר
ניסוח מלא
פתרון
נתחיל מלצמצם את הבעיה לבעיה החד גופית בעזרת מסה מצומצמת על ידי ההצבה \mu=\frac{M_{1}M_{2}}{M_{1}+M_{2}},M=M_{1}+M_{2} ונסתכל על \vec{r}_{rel} במקום על המיקום של אחת המסות. הבעיה שקולה כעת לבעיה שבה המסה הגדולה נשארת במקום רק עם מסות חדשות. לפי חוק השטחים השווים על מחזור שלם:
\pi ab=S=\frac{L}{2\mu}T
\Rightarrow T^{2}=\frac{4\pi^{2}\mu^{2}}{L^{2}}a^{2}b^{2}
נחשב את a,b:
a=\frac{r_{max}+r_{min}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{l}{1-\varepsilon}+\frac{l}{1+\varepsilon}\right)=\frac{l}{1-\varepsilon^{2}}
b^{2}=a^{2}-c^{2}=a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)
T^{2}=\frac{4\pi^{2}\mu^{2}}{L^{2}}a^{2}b^{2}=\frac{4\pi^{2}\mu^{2}}{L^{2}}a^{4}\left(1-\varepsilon^{2}\right)=\frac{4\pi^{2}\mu^{2}}{L^{2}}a^{3}l=\frac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}
הערה: הקשר b^{2}=a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right) הוא קשר גאומטרי מוכר בין פרמטרי האליפסה. כדי לפתח אותו נחשב את המרחק בין מרכז האליפסה לאחד המוקדים:
c=\frac{r_{max}-r_{min}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{l}{1-\varepsilon}-\frac{l}{1+\varepsilon}\right)=\frac{l\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}=\varepsilon a
סכום המרחקים מהמוקדים הוא 2a לכל נקודה על האליפסה. בפרט לנקודה על הציר המשני, אשר נמצאת באמצע בין המוקדים המרחק מכל מוקד הוא a. לכן a הוא היתר של משולש ישר זווית עם צלעות b,c ולכן:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.