כדור הארץ שמסתו M_{E} ורדיוסו R_{E} נע במסלול מעגלי סביב השמש במהירות v_{E}. מצאו את המהירות המינימלית v_{3} שיש לתת לגוף המשוגר מפני כדור הארץ על מנת שיברח ממערכת השמש.
כבידה · פיתוח 3
מהירות בריחה ממערכת השמש (קוסמית שלישית)
ניסוח מלא
פתרון
נפרק את הבריחה לשני שלבים. קודם בריחה מכדור הארץ ואז בריחה מהשמש. בזווית השיגור האופטימלית אחרי שהגוף ברח מכדור הארץ תהיה לו מהירות בדיוק מקבילה למהירות כדור הארץ. נסמן את המהירות שלו ביחס לארץ לאחר הבריחה ב-u. מהירות הבריחה מהשמש במרחק של כדור הארץ היא בדיוק \sqrt{2}v_{E} ולכן על מנת לברוח מהשמש נדרוש:
v_{E}+u=v_{\mathrm{esc},S}=\sqrt{2}v_{E}
u=\left(\sqrt{2}-1\right)v_{E}
מהירות השיגור הנדרשת כדי לברוח מכדור הארץ עם מהירות u אחרי הבריחה:
v^{2}_{3}=v^{2}_{\mathrm{esc},E}+u^{2}
v_{3}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}v^{2}_{E}+v^{2}_{\mathrm{\mathrm{esc}},E}}=\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)v^{2}_{E}+\frac{2GM_{E}}{R_{E}}}
הערה: עבור הפרמטרים של מערכת השמש מהירות הבריחה מכדור הארץ v_{\mathrm{esc},E}=11.2\unit{\frac{km}{s}} והמהירות המסלולית של כדור הארץ סביב השמש היא v_{E}=29.7\unit{\frac{km}{s}}:
v_{3}=\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)v^{2}_{E}+v^{2}_{\mathrm{esc},E}}=16.6\unit{\frac{km}{s}}
לא ניתן לעשות שימור אנרגיה במערכת של השמש מאחר שכדור הארץ אינו סטטי והוא מאבד אנרגיה באינטראקציה עם הגוף, על אותו עיקרון כמו בסלינגשוט כבידתי.
שימו לב שזווית השיגור האופטימלית אינה בדיוק במקביל למהירות כדור הארץ. כתלות בנקודת השיגור על כדור הארץ אם נשגר בדיוק בכיוון המקביל, יהיה לגוף תנ"ז והוא יעשה מסלול היפרבולי סביב כדור הארץ כך שכיוון המהירות שלו יוסט. צריך לשגר בדיוק בכיוון שבו ההסטה בדיוק מתקנת את כיוון התנועה כך שהוא מקביל אחרי הבריחה. בנוסף אם מתייחסים לסיבוב כדור הארץ אז יש העדפה לשגר עם כיוון הסיבוב כך שהשיגור האופטימלי לא רדיאלי באף נקודה על כדור הארץ ותמיד יש זווית הסטה כלשהי.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.