הראו כי האנרגיה הפוטנציאלית של כוכב ברדיוס R ומסה M המפולגת אחיד היא U=-\frac{3GM^{2}}{5R}.
כבידה · פיתוח 5
אנרגיה גרביטציונית של כוכב
ניסוח מלא
פתרון
נחשב בשלוש דרכים שונות:
1. נביא את המסה בקליפות כדוריות ונחשב כמה אנרגיה כל התהליך לוקח.
dU=-\frac{GM\left(r\right)}{r}\cdot dM=-\frac{GMr^{2}}{R^{3}}\cdot\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}M=-\frac{3GM^{2}r^{4}}{R^{6}}dr
U=\intop^{R}_{0}dU=-\intop^{R}_{0}\frac{3GM^{2}r^{4}}{R^{6}}dr=-\frac{3GM^{2}}{5R}
2. השדה הגרביטציוני בכל המרחב הוא\begin{align*}
\vec{g}\left(r<R\right) & =-\frac{GM_{in}}{r^{2}}\hat{r}=-\frac{GM\frac{r^{3}}{R^{3}}}{r^{2}}\hat{r}=-\frac{GMr}{R^{3}}\hat{r}\\
\vec{g}\left(r>R\right) & =-\frac{GM}{r^{2}}\hat{r}
\end{align*}
לכן הפוטנציאל הכבידתי הוא:
\begin{align*}
V\left(r>R\right) & =-\int^{r}_{\infty}\vec{g}\cdot d\vec{r}=-\int^{r}_{\infty}-\frac{GM}{r^{2}}dr=-\frac{GM}{r}\\
V\left(r<R\right) & =V\left(R\right)-\int^{r}_{R}\vec{g}\cdot d\vec{r}=-\frac{GM}{R}-\int^{r}_{R}-\frac{GMr}{R^{3}}dr=\frac{GM}{2R^{3}}\left(r^{2}-R^{2}\right)-\frac{GM}{R}=\frac{GM}{2R^{3}}r^{2}-\frac{3GM}{2R}
\end{align*}
מפה האנרגיה הכוללת
U=\frac{1}{2}\int Vdm=\frac{1}{2}\int^{R}_{0}\left(\frac{GM}{2R^{3}}r^{2}-\frac{3GM}{2R}\right)4\pi r^{2}\rho dr=2\pi\rho\left(\frac{GM}{10R^{3}}R^{5}-\frac{GM}{2R}R^{3}\right)=-\frac{4\pi\rho GM}{5R}R^{3}=-\frac{3GM^{2}}{5R}
3. נשתמש בצפיפות אנרגיה של שדה (באנלוגיה לחשמל):
u=-\frac{1}{2\cdot4\pi G}g^{2}
U=\int^{\infty}_{0}-\frac{1}{2\cdot4\pi G}g^{2}\cdot4\pi r^{2}dr=\int^{R}_{0}-\frac{1}{2G}\left(\frac{GMr}{R^{3}}\right)^{2}\cdot r^{2}dr+\intop^{\infty}_{R}-\frac{1}{2G}\left(\frac{GM}{r^{2}}\right)^{2}r^{2}dr
U=\int^{R}_{0}-\frac{GM^{2}r^{4}}{2R^{6}}dr+\intop^{\infty}_{R}-\frac{GM^{2}}{2r^{2}}dr=-\frac{GM^{2}}{10R^{6}}R^{5}-\frac{GM^{2}}{2R}=-\frac{3GM^{2}}{5R}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.