מצאו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני על הלחץ P בתוך כוכב כתלות במרחק ממרכז הכוכב r צפיפות המסה \rho\left(r\right) וקבועי טבע. פתרו את המשוואה עבור כוכב נוזלי אי דחיס בעל צפיפות אחידה \rho_{0}.
כבידה · פיתוח 6
פרופיל לחץ בכוכב
ניסוח מלא
פתרון
נסתכל על חתיכה קטנה בעלת מסה dm בתוך הכוכב באורך dr ושטח dA אז:
dA\left(P\left(r\right)-P\left(r+dr\right)\right)=\frac{GM_{in}\left(r\right)dm}{r^{2}}=\frac{GM_{in}\left(r\right)\rho\left(r\right)dAdr}{r^{2}}
\frac{dP}{dr}=-\frac{GM_{in}\left(r\right)\rho\left(r\right)}{r^{2}}
\frac{d}{dr}\left(\frac{r^{2}}{\rho\left(r\right)}\frac{dP}{dr}\right)=-G\frac{d}{dr}M_{in}=-4\pi G\rho\left(r\right)r^{2}
קיבלנו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני. עבור צפיפות מסה אחידה \rho_{0}:
\frac{dP}{dr}=-\frac{G\rho_{0}}{r^{2}}\frac{4\pi\rho_{0}r^{3}}{3}=-\frac{4\pi}{3}G\rho^{2}_{0}r
P\left(r\right)=-\frac{2\pi}{3}G\rho^{2}_{0}r^{2}+C
נדרוש שהלחץ יתאפס בקצה הכוכב:
P\left(r\right)=\frac{2\pi}{3}G\rho^{2}_{0}\left(R^{2}-r^{2}\right)
הערה: שימו לב שאת משוואת הכוחות צריך לעשות על חתיכה דיפרנציאלית ולא על קליפה ברדיוס r. אסור לעשות על כל הקליפה ברדיוס dr בגלל שאין לכוח כיוון, כלומר זאת לא באמת משוואת כוחות. אם עושים את זה מקבלים משוואה שונה שכן הכוח לפי החישוב הזה הוא:
AP-\left(A+dA\right)\left(P+dP\right)\neq-AdP
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.