גוף קטן ברדיוס r וצפיפות \rho_{m} מושפע כבידתית מגוף גדול בעל רדיוס R וצפיפות \rho_{M} אשר נמצא במרחק d מהגוף הקטן. העריכו את המרחק d הקרוב ביותר בו הגוף הקטן אינו מתפרק תחת הכבידה של הגוף הגדול. הניחו כי הגוף הקטן מחזיק את עצמו בעזרת הכבידה העצמית שלו בלבד.
כבידה · פיתוח 7
גבול רוש
ניסוח מלא
פתרון
בשביל שהגוף הקטן לא יתפרק דרוש כי כוח הכבידה שדואג להחזיק את הגוף יהיה גדול מהכוח שמנסה להפריד חלקים שונים של הגוף. או בעצם הפרש הכוחות החיצוניים בין נק' שונות על הגוף הקטן יהיה קטן מכוח הכבידה המחזיק אותם יחד.
כוח הכבידה העצמי הפועל על החלק החיצוני של הגוף הקטן הוא:
g_{self}=\frac{Gm}{r^{2}}=\frac{G}{r^{2}}\cdot\frac{4\pi}{3}r^{3}=\frac{4\pi}{3}G\rho_{m}r
הפרש הכוחות בעקבות הגוף בין מרכז הגוף הקטן לחלק החיצוני שלו הוא:
g_{ex}=\frac{4\pi}{3}G\rho_{M}R^{3}\left(\frac{1}{d^{2}}-\frac{1}{\left(d+r\right)^{2}}\right)\simeq\frac{4\pi}{3}G\rho_{M}R^{3}\frac{2r}{d^{3}}
ולכן בגבול רוש יתקיים:
\frac{4\pi}{3}G\rho_{m}r=\frac{4\pi}{3}G\rho_{M}R^{3}\frac{2r}{d^{3}}
d_{roche}=R\left(\frac{2\rho_{M}}{\rho_{m}}\right)^{\frac{1}{3}}
הערה: החישוב הזה נכון רק לכוכב מוצק שמחזיק את עצמו רק כבידתית ולא עובר דפורמציות. עבור כוכב נוזלי שנהיה פחוס רוש חישב שהגבול הוא:
d_{roche}\approx2.44R\left(\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}\right)^{\frac{1}{3}}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.