גוף בעל מסה m מבצע תנועה מעגלית ברדיוס R מסביב לכוכב בעל מסה M. ברגע כלשהו הגוף מקבל מכה קטנה בכיוון הרדיאלי ומתחיל להתנדנד סביב מסלולו המקורי. מהי תדירות התנודות של הגוף סביב מסלולו המקורי?
כבידה · פיתוח 9
תדירות התנודות של גוף שמוסט מעט ממסלול מעגלי סביב מסלולו המקורי
ניסוח מלא
פתרון
נפתור בעזרת אנרגיה ותנ''ז. מכיוון שהמכה בכיוון הרדיאלי יש שימור תנ''ז. לכן
L=mR^{2}\omega
כאשר \omega היא תדירות הסיבוב בתנועה המעגלית ומתקבלת על ידי:
m\omega^{2}R=\frac{GmM}{R^{2}}
\omega=\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}
אז נכתוב את האנרגיה הכוללת של הגוף:
E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}-\frac{GMm}{r}
נגזור בזמן:
0=m\dot{r}\ddot{r}-\frac{L^{2}}{mr^{3}}\dot{r}+\frac{GMm}{r^{2}}\dot{r}
\ddot{r}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}}-\frac{GM}{r^{2}}
נחליף משתנים r=R+r':
\ddot{r'}\approx\frac{\left(mR^{2}\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}\right)^{2}}{m^{2}R^{3}}\left(1-3\frac{r'}{R}\right)-\frac{GM}{R^{2}}\left(1-2\frac{r'}{R}\right)=-\frac{GM}{R^{2}}\frac{r'}{R}
מהמשוואה ברור כי הגוף מבצע תנועה הרמונית סביב המסלול המקורי בתדירות \Omega=\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} וזוהי גם בדיוק התדירות סיבוב של התנועה המעגלית המקורית.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.