נתונות שתי מסות m_{1},m_{2}, עם וקטורי מיקום \vec{r}_{1},\vec{r}_{2} שעושות אינטראקציה רק ביניהן. נגדיר \vec{r}_{rel}=\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}. הראו שמתקיים \mu\ddot{\vec{r}_{rel}}=\vec{F}_{21} כאשר \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} ו- \vec{F}_{21} הכוח ש-m_{2} מפעילה על m_{1}. הראו שבמערכת מרכז המסה \vec{L}=\mu\vec{r}_{rel}\times\vec{v}_{rel} ו-E_{k}=\frac{1}{2}\mu v^{2}_{rel}.
מכניקה · פיתוח 11
מסה מצומצמת
ניסוח מלא
פתרון
נכתוב את משוואות הכוחות על כל אחד מהגופים:
m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1}=\vec{F}_{21}
m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2}=\vec{F}_{12}
\ddot{\vec{r}}_{rel}=\frac{\vec{F}_{21}}{m_{1}}-\frac{\vec{F}_{12}}{m_{2}}=\vec{F}_{21}\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)
נסמן \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}, כלומר \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} כאשר \mu היא המסה המצומצמת ונקבל:
\mu\ddot{\vec{r}}_{rel}=\vec{F}_{21}
כעת במערכת מרכז המסה מתקיים m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=0 ולכן
\vec{v}_{rel}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)=\frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}}\vec{v_{1}}=-\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\vec{v_{2}}
\mu\vec{v}_{rel}=m_{1}\vec{v}_{1}=-m_{2}\vec{v}_{2}
E_{k}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2}=\frac{1}{2}\mu\vec{v}_{rel}\cdot\left(\vec{v}_{1}-\vec{v_{2}}\right)=\frac{1}{2}\mu v^{2}_{rel}
\vec{L}=m_{1}\vec{r}_{1}\times\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{r}_{2}\times\vec{v}_{2}=\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right)\times\mu\vec{v}_{rel}=\mu\vec{r}_{rel}\times\vec{v}_{rel}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.