קפיץ בעל קבוע קפיץ k והתפלגות מסה אחידה נתלה מהתקרה. לקפיץ מסה M ואורך רפוי L כמו כן. כמה התארך הקפיץ תחת משקלו?
מכניקה · פיתוח 18
התארכות של קפיץ תחת משקלו
ניסוח מלא
פתרון
נסתכל על חתיכה בעובי dy שנמצאת בגובה y מתחת לתקרה כאשר הקפיץ רפוי. את קבוע הקפיץ של החתיכה הקטנה k_{eff} אפשר למצוא מהטיעון הבא:
הקפיץ מורכב בעצם מהרבה חתיכות קטנות באורך dy שמחוברות בטור. נסמן את מספר החתיכות ב-\frac{L}{dy}=N\gg1 אז מהנוסחה של חיבור קפיצים בטור:
\frac{1}{k}=\frac{N}{k_{eff}}=\frac{\frac{L}{dy}}{k_{eff}}
kL=k_{eff}dy
את הגודל kL נהוג לסמן באות \kappa. לכן \frac{\kappa}{dy}=k_{eff}.
כל חתיכה קטנה כזאת מתארכת בעקבות המשקל של הקפיץ שנמצא מתחתיה. כלומר כל חתיכה קטנה כזאת מחזיקה משקל של m\left(1-\frac{y}{L}\right)g
\frac{\kappa}{dy}\Delta\left(dy\right)=m\left(1-\frac{y}{L}\right)g
\Delta L=\intop^{L}_{0}\Delta dy=\intop^{L}_{0}\frac{m\left(1-\frac{y}{L}\right)g}{\kappa}dy=\frac{gL}{\kappa}\cdot\frac{m}{2}=\frac{mg}{2k}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.