לוח באורך L ומסה m נע על שולחן חלק במהירות v. במהלך תנועתו מגיע הלוח אל אזור מחוספס בעל מקדם חיכוך \mu. מצאו את התנאי שהלוח כולו ייכנס את האזור המחוספס ואת הזמן עד שיעצור סופית.
מכניקה · פיתוח 20
זמן בלימת לוח במעבר למשטח מחוספס
ניסוח מלא
פתרון
נגדיר את הגודל x להיות האורך של הלוח שנכנס לאזור המחוספס. נכתוב משוואות חוק שני של ניוטון:
m\ddot{x}=-\mu N=-\frac{x}{L}\mu mg
\ddot{x}=-\frac{\mu g}{L}x
לכן במהלך המעבר הגוף מבצע תנועה הרמונית פשוטה בתדירות \omega=\sqrt{\frac{\mu g}{L}}:
x=A\sin\left(\sqrt{\frac{\mu g}{L}}t+\phi\right)
מתנאי התחלה:
\begin{align*}
0 & =A\sin\left(\phi\right)\\
v & =\sqrt{\frac{\mu g}{L}}A\cos\left(\phi\right)
\end{align*}
ופתרון המשוואה הינו:
x\left(t\right)=\frac{v}{\sqrt{\frac{\mu g}{L}}}\sin\left(\sqrt{\frac{\mu g}{L}}t\right)
פתרון זה תקף רק בזמנים שלפני שהלוח עצר או נכנס כולו את האזור המחוספס. במקרה הקריטי L=\frac{v}{\sqrt{\frac{\mu g}{L}}}, כלומר v=\sqrt{\mu gL}.
עבור v<\sqrt{\mu gL} הלוח יעצור בזמן המעבר אחרי שביצע רבע מחזור של תנועה הרמונית, כלומר
t=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L}{\mu g}}\qquad\left(v<\sqrt{\mu gL}\right)
עבור v>\sqrt{\mu gL} הלוח יכנס כולו אל האזור המחוספס ושם תפסיק התנועה ההרמונית והוא יאט בתאוצה קבועה \mu g. המהירות של הלוח במעבר מתנועה הרמונית לתאוצה קבועה לפי עבודה אנרגיה תהיה:
v_{exit}=\sqrt{v^{2}-\mu gL}
t=\sqrt{\frac{L}{\mu g}}\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{\mu gL}}{v}\right)+\frac{\sqrt{v^{2}-\mu gL}}{\mu g}\qquad\left(v>\sqrt{\mu gL}\right)
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.