מצאו את הפתרון הכללי למד"ר \ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}_{0}x=0. וחלקו למקרה של ריסון חזק, ריסון חלש וריסון קריטי. במקרה של ריסון קריטי הראו שהפתרון הכללי הוא x\left(t\right)=\left(A+Bt\right)e^{-\beta t}.
מכניקה · פיתוח 21
תנועה הרמונית מרוסנת
ניסוח מלא
פתרון
המד''ר לינארי מסדר שני ולכן יש שני פתרונות בלתי תלויים. ננחש פתרון x=Ae^{\lambda t}:
\lambda^{2}+2\beta\lambda+\omega^{2}_{0}=0
\lambda=-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}
כלומר באמת קיבלנו שיש שני פתרונות למד''ר עם קבועי דעיכה שונים. נראה ש- \lambda יכול להיות גם ממשי וגם מרוכב.
במקרה \beta^{2}-\omega^{2}_{0}>0 מקדמי הדעיכה שניהם ממשיים. מקרה זה נקרה ריסון חזק. לכן הפתרון יהיה:
x=Ae^{\left(-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}\right)t}+Be^{\left(-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}\right)t}
במקרה \beta^{2}-\omega^{2}_{0}<0 שני מקדמי הדעיכה מרוכבים (צמודים אחד של השני) ולכן יש תנודות. מקרה זה נקרא ריסון חלש. הפתרון הוא:
\begin{align*}
x & =Ae^{\left(-\beta+i\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}\right)t}+Be^{\left(-\beta-i\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}\right)t}=e^{-\beta t}\left[Ae^{i\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t}+Be^{-i\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t}\right]\\
& =e^{-\beta t}\left[C\cos\left(\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t\right)+D\sin\left(\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t\right)\right]=E\cdot\cos\left(\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t+\phi\right)\cdot e^{-\beta t}
\end{align*}
במקרה \beta^{2}-\omega^{2}_{0}=0 שני מקדמי הדעיכה ממשיים ושווים ל-\beta, כלומר יש פתרון יחיד. מקרה זה נקרא ריסון קריטי. נצטרך למצוא פתרון נוסף. נוכל לעשות זאת על ידי לקיחת הגבול \beta\rightarrow\omega_{0}. מה שמתנוון בגבול זה ההפרש בין שני הפתרונות ולכן נסתכל איך הוא מתנהג:
e^{\left(-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}\right)t}-e^{\left(-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}\right)t}\approx e^{-\beta t}\left(\left(1+\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}t\right)-\left(1-\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}t\right)\right)\approx2\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}_{0}}te^{-\beta t}
כלומר x=te^{-\beta t} יהיה הפתרון הנוסף כאשר \beta=\omega_{0}. כלומר הפתרון במקרה של ריסון קריטי הינו:
x=\left(A+Bt\right)e^{-\beta t}
בנוסף הגודל Q=\frac{\omega_{0}}{2\beta} נקרא מקדם האיכות או פקטור Q והוא פרמטר שמגדיר את מידת הריסון של מתנד הרמוני מרוסן. מערכות בהן Q<0.5 נמצאות בריסון יתר ותגובת ההלם שלהן דועכת אקספוננציאלית. מערכות בהן Q>0.5 נמצאות בתת-ריסון ותגובת ההלם שלהן מתנודדת עם משרעת שדועכת אקספוננציאלית.
הערה: אפשר לקבל את הפתרון עבור ריסון קריטי גם על ידי פתרון ישיר במקרה \beta^{2}=\omega^{2}_{0} בעזרת הניחוש x\left(t\right)=A\left(t\right)e^{-\beta t}:
0=\left(\ddot{A}-2\beta\dot{A}+\beta^{2}A\right)+2\beta\left(\dot{A}-\beta A\right)+\omega^{2}_{0}A=\ddot{A}
x=\left(A+Bt\right)e^{-\beta t}
הניחוש הזה הוא דוגמה של שיטת הורדת הסדר. בהינתן פתרון x_{1}\left(t\right) למד"ר לינארי, אם ננחש x\left(t\right)=A\left(t\right)x_{1}\left(t\right) נקבל מד"ר לינארי מסדר אחד נמוך יותר עבור \dot{A}.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.