מצאו את הפתרון הכללי למד"ר \ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}_{0}x=f\cos\left(\omega t\right) ואת הפתרון לאחר הרבה זמן. מצאו גם את תדירות הרזוננס, כלומר התדירות שבה אמפליטודה התנועה מקסימלית.
מכניקה · פיתוח 22
תנועה הרמונית מאולצת מרוסנת
ניסוח מלא
פתרון
נחפש פתרון פרטי למשוואה. לאחר מכן נוכל להוסיף לו כל פתרון של המשוואה ההומוגנית (כלומר המשוואה הלא מאולצת \ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}x=0). מאחר שהמד"ר לינארית נוכל להסתכל על אילוץ fe^{i\omega t} במקום f\cos\left(\omega t\right), לפתור במרוכבים ולקחת \real\left\{ x\right\} כדי לקבל את הפתרון. ננחש x_{p}=Ae^{i\omega t} כאשר A מקדם מרוכב. גודלו תהיה האמפליטודה של התנודה, והפאזה תהיה הפאזה של הפתרון ביחס לכוח המאלץ.
\left(-\omega^{2}+2i\omega\beta+\omega^{2}_{0}\right)Ae^{i\omega t}=fe^{i\omega t}
A=\frac{f}{-\omega^{2}+2i\omega\beta+\omega^{2}_{0}}=\frac{f}{2i\omega\beta+\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}=A_{0}e^{i\phi}
A_{0}=\frac{f}{\sqrt{\left(2\omega\beta\right)^{2}+\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)^{2}}},\tan\phi=-\frac{2\omega\beta}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}}
ובמעבר חזרה לממשיים:
\begin{align*}
x_{p}\left(t\right) & =\real\left\{ Ae^{i\omega t}\right\} =\real\left\{ A_{0}e^{i\left(\omega t+\phi\right)}\right\} =A_{0}\cos\left(\omega t+\phi\right)
\end{align*}
נזכור שזהו רק הפתרון הפרטי. נוכל להוסיף לו את הפתרונות למשוואה ההומוגנית (\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}x=0) כדי לקבל את הפתרון הכללי:
x\left(t\right)=A_{0}\cos\left(\omega t+\phi\right)+Ae^{\left(-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}}\right)t}+Be^{\left(-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega^{2}}\right)t}
כאשר המקדמים A ו- B נקבעים על פי תנאי ההתחלה. אחרי הרבה זמן הפתרון הכללי דועך בגלל הריסון, כלומר תנאי ההתחלה נשכחים ונשאר רק עם הפתרון שמצאנו:
x\left(t\rightarrow\infty\right)\approx x_{p}\left(t\right)
תדירות התהודה היא התדירות שעבורה A_{0} מקסימלית. נגזור לפי \omega^{2} את המכנה בתוך השורש כדי למצוא את התדירות שבה הוא מינימלי ולכן A_{0} מקסימלי:
0=\frac{d}{d\left(\omega^{2}\right)}\left[\left(2\omega\beta\right)^{2}+\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)^{2}\right]=4\beta^{2}+2\left(\omega^{2}-\omega^{2}_{0}\right)
\omega_{res}=\sqrt{\omega^{2}_{0}-2\beta^{2}}
אפשר למצוא אותה גם לפי הדרישה שהדיסקרימננטה של הביטוי הריבועי לפי \omega^{2} מתאפסת.
הערה: דרך נוספת לכתוב את הפתרון הפרטי היא לפי סכום של סינוס וקוסינוס:
A=\frac{f}{\left(\omega^{2}-\omega^{2}_{0}\right)+2i\omega\beta}=f\frac{\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)-2i\omega\beta}{\left(\omega^{2}-\omega^{2}_{0}\right)+\left(2\omega\beta\right)^{2}}=A_{1}-iA_{2}
A_{1}=f\frac{\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}{\left(\omega^{2}-\omega^{2}_{0}\right)+\left(2\omega\beta\right)^{2}},A_{2}=f\frac{2\omega\beta}{\left(\omega^{2}-\omega^{2}_{0}\right)+\left(2\omega\beta\right)^{2}}
x_{0}\left(t\right)=\real\left\{ Ae^{i\omega t}\right\} =\real\left\{ \left(A_{1}-iA_{2}\right)\left(\cos\omega t+i\sin\omega t\right)\right\} =A_{1}\cos\left(\omega t\right)+A_{2}\sin\left(\omega t\right)
זה יכול להיות שימושי למשל כשרוצים לחשב את ההספק הממוצע של הכוח המאלץ:
\left\langle P\left(t\right)\right\rangle =\left\langle f\left(t\right)\cdot v\left(t\right)\right\rangle =\omega f\left\langle -A_{1}\cos\left(\omega t\right)\sin\left(\omega t\right)+A_{2}\cos^{2}\omega t\right\rangle =\frac{A_{2}\omega f}{2}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.