מצאו את הפתרון למד"ר \ddot{x}+\omega^{2}_{0}x=f\cos\left(\omega t\right) עם תנאי של מנוחה בראשית ומצאו במדויק את הפתרון כאשר יש תהודה \omega=\omega_{0}.
מכניקה · פיתוח 23
תנועה הרמונית מאולצת לא מרוסנת ותהודה
ניסוח מלא
פתרון
נמצא פתרון פרטי על ידי ניחוש של אקספוננט מרוכב x_{p}=Ae^{i\omega t}:
\left(-\omega^{2}+\omega^{2}_{0}\right)Ae^{i\omega t}=fe^{i\omega t}
A=\frac{f}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}}
x_{p}\left(t\right)=\frac{f}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}}\cos\left(\omega t\right)
כעת נצטרך להוסיף פתרון של המשוואה ההומוגנית (ללא האילוץ) כדי לקיים את תנאי ההתחלה:
x\left(t\right)=\frac{f}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}}\left(\cos\left(\omega t\right)-\cos\left(\omega_{0}t\right)\right)=\frac{2f}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}}\sin\left(\frac{\omega+\omega_{0}}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_{0}-\omega}{2}t\right)
זה כמובן תקף כל עוד \omega\neq\omega_{0} שכן המכנה מתאפס. מקרה זה נקרא תהודה. תדירות האילוץ מתלכדת עם התדירות העצמית ולכן תמיד מכניסה אנרגיה למערכת, כך שהאמפליטודה גדלה עם הזמן. כדי לקבל את הפתרון בתדר התהודה ניקח את הגבול \omega\rightarrow\omega_{0} של הביטוי שמצאנו:
x\left(t\right)=\frac{2f}{\omega_{0}+\omega}\frac{\sin\left(\frac{\omega_{0}-\omega}{2}t\right)}{\omega_{0}-\omega}\sin\left(\frac{\omega+\omega_{0}}{2}t\right)\rightarrow\frac{2f}{2\omega_{0}}\frac{t}{2}\sin\left(\omega_{0}t\right)
x_{res}\left(t\right)=\frac{ft}{2\omega_{0}}\sin\left(\omega_{0}t\right)
אכן האמפליטודה גדלה לינארית עם הזמן והתנודה היא בדיוק בפאזה של \frac{\pi}{2} מהאילוץ, כלומר המהירות באותה פאזה עם האילוץ.
הערה: אפשר היה להגיע לפתרון של רזוננס גם על ידי פתרון ישיר של המשוואה במקרה \omega=\omega_{0}. האילוץ תמיד מכניס אנרגיה למערכת ולכן נצפה לאמפליטודה שגדלה עם הזמן, אז ננחש x_{res}\left(t\right)=A\left(t\right)e^{i\omega t}:
f=\left(\ddot{A}+2i\omega\dot{A}-\omega^{2}A\right)+\omega^{2}A=\ddot{A}+2i\omega\dot{A}
מספיק לנו פתרון פרטי ולכן נוכל לקחת \ddot{A}=0,\dot{A}=\frac{f}{2i\omega}. מכאן
x_{res}\left(t\right)=\real\left\{ A\left(t\right)e^{i\omega t}\right\} =\frac{ft}{2\omega}\real\left\{ \frac{1}{i}\left(\cos\left(\omega t\right)+i\sin\left(\omega t\right)\right)\right\} =\frac{ft}{2\omega}\sin\left(\omega t\right)
וזה מקיים את תנאי ההתחלה, אז לא צריך להוסיף כלום.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.