נסמן את ההספק הממוצע הנאבד מהריסון של אוסילטור הרמוני מאולץ ומרוסן \ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}_{0}x=f\cos\left(\omega t\right) כתלות בתדירות האילוץ ב-P\left(\omega\right). הראו שמתקיים Q=\frac{\omega_{max}}{\Delta\omega}=\frac{\omega_{0}}{2\beta} כאשר \omega_{max} התדירות שבה P\left(\omega\right) מקסימלית ו-\Delta\omega רוחב המקסימום המוגדר על ידי המרחק בין שתי הנקודות בחצי הגובה. הראו גם שעבור אוסילטור ללא אילוץ וריסון חלש מאוד \beta\ll\omega מתקיים Q=2\pi\frac{E_{tot}}{E_{diss}} כאשר E_{tot} היא האנרגיה בתחילת מחזור כלשהו ו-E_{diss} האנרגיה שאובדת במהלך המחזור.
מכניקה · פיתוח 24
פקטור איכות (Q)
ניסוח מלא
פתרון
ננחש x=Ae^{i\omega t}:
A\left(-\omega^{2}+2i\beta\omega+\omega^{2}_{0}\right)=f
A=\frac{f}{2i\beta\omega+\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}
P\left(\omega\right)\propto v^{2}_{0}=\left|A\omega\right|^{2}=\left|\frac{f}{2i\beta+\frac{\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}{\omega}}\right|^{2}=\frac{f}{4\beta^{2}+\frac{1}{\omega^{2}}\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)^{2}}
אז \omega_{max}=\omega_{0}. נחשב את הרוחב:
\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)^{2}=4\beta^{2}\omega^{2}
\omega^{2}-\omega^{2}_{0}=\pm2\beta\omega
\omega=\pm\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+\omega^{2}_{0}}
כמובן ש-\omega>0 ולכן
\omega=\sqrt{\omega^{2}_{0}+\beta^{2}}\pm\beta\Rightarrow\Delta\omega=2\beta
Q=\frac{\omega_{max}}{\Delta\omega}=\frac{\omega_{0}}{2\beta}
כעת עבור ריסון חלש ללא אילוץ מאחר שהאילוץ מאוד חלש נוכל להניח שהדעיכה זניחה, כלומר x=A\cos\left(\omega_{0}t\right). אז:
E_{diss}=\intop^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}_{0}Fvdt=\intop^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}_{0}2\beta v^{2}dt=\beta v^{2}_{0}\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\cdot E_{tot}\cdot\frac{2\beta}{\omega_{0}}
\Rightarrow Q=2\pi\frac{E_{tot}}{E_{diss}}=\frac{\omega_{0}}{2\beta}
כאשר לקחנו E=\frac{1}{2}v^{2}, F=2\beta v מאחר שכל המשוואה חולקה מראש במסה.
אפשר היה להראות את זה גם לפי הפתרון הכללי למשוואה.
x\left(t\right)=Ae^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^{2}}t+\phi\right)\approx Ae^{-\beta t}\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)
E\left(t\right)\propto x^{2}\left(t\right)
E_{diss}\approx E_{tot}\left(1-e^{-2\beta\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}}}\right)=E_{tot}\cdot2\beta\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}}
Q=\frac{2\pi E_{tot}}{E_{diss}}=\frac{\omega_{0}}{2\beta}
הערה: עבור Q\gg1 מתקיים גם Q=\frac{\omega_{res}}{\Delta\omega} עבור עקומת האמפליטודה של התנועה A^{2}\left(\omega\right). באופן כללי שימו לב ש-\omega_{res}=\sqrt{\omega^{2}_{0}-2\beta^{2}} ולא יתקיים השוויון במדויק.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.