שתי מסות שוות m נמצאות בין שתי קירות ומחוברות לכל אחד מהקירות עם קפיצים בעלי קבוע קפיץ k_{1} וביניהם עם קפיץ עם קבוע קפיץ k_{2}. מצאו את שתי תדירויות התנודות האפשריות במערכת. מצאו את הפתרון עבור תנאי התחלה סימטרי (x_{1}=x_{2}) ותנאי התחלה אנטי-סימטרי (x_{1}=-x_{2}). מצאו את הפתרון גם עבור תנאי התחלה שרק אחת המסות מוסטת ופרקו את זה למכפלה של תנודה מהירה ואיטית. מצאו את היחס בין התדירויות המהירה והאיטית כאשר הצימוד חלש, כלומר k_{2}\ll k_{1}.
מכניקה · פיתוח 25
קפיצים מצומדים ופעימות
ניסוח מלא
פתרון
נכתוב את משוואת הכוחות על שני הקפיצים:
\sum F_{1}=-k_{1}x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=k_{2}x_{2}-\left(k_{1}+k_{2}\right)x_{1}=m\ddot{x}_{1}
\sum F_{2}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)-k_{1}x_{2}=k_{2}x_{1}-\left(k_{1}+k_{2}\right)x_{2}=m\ddot{x}_{2}
נגדיר \xi_{1}=x_{1}+x_{2},\xi_{2}=x_{1}-x_{2}. אז
\ddot{\xi}_{1}=\left(\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2}\right)=-\frac{k_{1}}{m}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-\frac{k_{1}}{m}\xi_{1}\Rightarrow\omega_{s}=\sqrt{\frac{k_{1}}{m}}
\ddot{\xi}_{2}=\left(\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2}\right)=-\frac{k_{1}+2k_{2}}{m}\left(x_{1}-x_{2}\right)=-\frac{k_{1}+2k_{2}}{m}\xi_{2}\Rightarrow\omega_{as}=\sqrt{\frac{k_{1}+2k_{2}}{m}}
עם תנאי התחלה סימטריים, נקבל את אופן התנודה הסימטרי הטהור והפתרון יישאר סימטרי:
\xi_{1}\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{s}t\right),\xi_{2}\left(t\right)=0
x_{1}\left(t\right)=x_{2}\left(t\right)=\frac{A}{2}\cos\left(\omega_{s}t\right)
עם תנאי התחלה אנטי סימטריים נקבל את אופן התנודה האנטי-סימטרי הטהור והפתרון יישאר אנטי-סימטרי:
\xi_{1}\left(t\right)=0,\xi_{2}\left(t\right)=B\cos\left(\omega_{as}t\right)
x_{1}\left(t\right)=-x_{2}\left(t\right)=\frac{B}{2}\cos\left(\omega_{as}t\right)
עם תנאי התחלה שבו רק המסה הראשונה מוסטת נקבל שלשני האופנים תהיה אמפליטודה שווה:
\xi_{1}\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{s}t\right),\xi_{2}\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{as}t\right)
x_{1}\left(t\right)=\frac{A}{2}\left(\cos\left(\omega_{s}t\right)+\cos\left(\omega_{as}t\right)\right)=A\cos\left(\frac{\omega_{as}-\omega_{s}}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_{as}+\omega_{s}}{2}t\right)
x_{2}\left(t\right)=\frac{A}{2}\left(\cos\left(\omega_{s}t\right)-\cos\left(\omega_{as}t\right)\right)=A\sin\left(\frac{\omega_{as}-\omega_{s}}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_{as}+\omega_{s}}{2}t\right)
כאשר k_{2}\ll k_{1}, כלומר כאשר הצימוד חלש, נקבל :
\omega_{as}=\sqrt{\frac{k_{1}+2k_{2}}{m}}\approx\sqrt{\frac{k_{1}}{m}}\left(1+\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)=\omega_{1}\left(1+\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)
\omega_{slow}=\frac{\omega_{as}-\omega_{s}}{2}\approx\frac{k_{2}}{2k_{1}}\omega_{1}
\omega_{fast}=\frac{\omega_{as}+\omega_{s}}{2}\approx\omega_{1}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.