הראו שעבור מערכת חלקיקים סגורה ללא כוחות חיצוניים יש שימור תנע ותנ"ז לפי חוקי ניוטון. עבור תנ"ז השתמשו גם בחוק השלישי החזק (שהכוח בין שני גופים הוא בכיוון המחבר ביניהם).
מכניקה · פיתוח 3
שימור תנע ותנ"ז של מערכת חלקיקים
ניסוח מלא
פתרון
נשתמש בחוק השני של ניוטון:
\frac{d}{dt}\vec{P}_{tot}=\sum_{i}\frac{d\vec{p}_{i}}{dt}=\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}=\sum_{i<j}\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ji}
לפי החוק השלישי ביטוי זה מתאפס:
\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\Rightarrow\frac{d}{dt}\vec{P}_{tot}=\sum_{i<j}\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ji}=0
עבור תנ"ז:
\frac{d}{dt}\vec{L}_{tot}=\sum_{i}\frac{d\vec{L}_{i}}{dt}=\sum_{i}\frac{d}{dt}\left(\vec{r}_{i}\times\vec{p}_{i}\right)=\sum_{i}\left(\cancelto{0}{\vec{v_{i}}\times\vec{p}_{i}}+\vec{r_{i}}\times\vec{F}_{i}\right)=\sum_{i\neq j}\vec{r_{i}}\times\vec{F}_{ij}=\sum_{i<j}\left(\vec{r_{i}}\times\vec{F}_{ij}+\vec{r}_{j}\times\vec{F_{ji}}\right)
מהחוק השלישי \vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji} ולכן
\frac{d}{dt}\vec{L}_{tot}=\sum_{i<j}\left(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right)\times\vec{F}_{ij}
כעת נניח גם את הגרסה החזקה של הכוח השלישי, כלומר \vec{F}_{ij}\parallel\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j} ונקבל מיד את השימור:
\frac{d}{dt}\vec{L}_{tot}=\sum_{i<j}\left(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right)\times\vec{F}_{ij}=0
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.