כדור נזרק מראשית הצירים במהירות v בזווית כלשהי, הוכיחו כי הצורה המכילה את כל הנקודות אליו הכדור יכול להגיע היא פרבולה ומצאו את פרמטריה.
מכניקה · פיתוח 32
פרבולה חוסמת של זריקה במהירות נתונה
ניסוח מלא
פתרון
נכתוב משוואה ל-y\left(x\right) עם \tan\theta כפרמטר, נגזור ונמצא את הגובה המקסימלי לכל x:
x=vt\cos\theta
y=vt\sin\theta-\frac{1}{2}gt^{2}=x\tan\theta-\frac{gx^{2}}{2v^{2}}\left(1+\tan^{2}\theta\right)
0=\frac{dy}{d\tan\theta}=x-\frac{gx^{2}}{v^{2}}\tan\theta\Rightarrow\tan\theta=\frac{v^{2}}{gx}
y=\frac{v^{2}}{g}-\frac{v^{2}}{2g}-\frac{gx^{2}}{2v^{2}}=\frac{v^{2}}{2g}-\frac{gx^{2}}{2v^{2}}
הערה: עוד דרך לקבל את התוצאה היא לשים לב שנקודה \left(x,y\right) היא קריטית, כלומר נמצאת על הפרבולה עם בדיוק מסלול אחד מסוגל להגיע אליה (ומשיק בנקודה). כלומר נוכל להתייחס למשוואה בין y,x כמשוואה ריבועית על \tan\theta ולדרוש פתרון יחיד, כלומר דיסקרימיננטה מתאפסת:
\frac{gx^{2}}{v^{2}}\tan^{2}\theta-2x\tan\theta+\left(2y+\frac{gx^{2}}{v^{2}}\right)=0
x^{2}=\frac{gx^{2}}{v^{2}}\left(2y+\frac{gx^{2}}{v^{2}}\right)
y=\frac{v^{2}}{2g}-\frac{gx^{2}}{2v^{2}}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.