אנרגיה קינטית/תנ"ז של מערכת חלקיקים = אנרגיה/תנ"ז של מרכז מסה + אנרגיה/תנ"ז סביב מרכז מסה

\begin{align*} E_{k} & =\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v^{2}_{i}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left(\vec{v}_{i}'+\vec{V}_{cm}\right)^{2}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left(v_{i}'^{2}+2\vec{v_{i}}'\cdot\vec{V}_{cm}+V^{2}_{cm}\right)\\ & =\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}'^{2}+\vec{V}_{cm}\cdot\cancel{\sum_{i}m_{i}\vec{v_{i}'}}+\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}V^{2}_{cm}=E_{k,cm}+\frac{1}{2}MV^{2}_{cm} \end{align*}

\begin{align*} \vec{L} & =\sum_{i}m_{i}\left(\vec{r_{i}}\times\vec{v}_{i}\right)=\sum_{i}m_{i}\left(\vec{r_{i}}+\vec{R}_{cm}\right)\times\left(\vec{v}_{i}+\vec{V}_{cm}\right)=\\ & =\sum_{i}m_{i}\left(\vec{r_{i}}'\times\vec{v}_{i}'+\vec{R}_{cm}\times\vec{v_{i}}'+\vec{r}_{i}'\times\vec{V}_{cm}+\vec{R}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)\\ & =\sum_{i}m_{i}\left(\vec{r_{i}}'\times\vec{v}_{i}'\right)+\vec{R}_{cm}\times\cancelto{0}{\sum m_{i}\vec{v}_{i}'}+\cancelto{0}{\left(\sum m_{i}\vec{r}_{i}'\right)}\times\vec{V}_{cm}+\sum m_{i}\left(\vec{R}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)\\ & =\vec{L}_{cm}+\vec{R}_{cm}\times\vec{P}_{cm} \end{align*}