הראו את מרכזי המסה הבאים. מרכז המסה של משולש מלא הוא במפגש התיכונים. מרכז המסה של חצי קשת ברדיוס R בגובה \frac{2}{\pi}R. מרכז המסה של חצי דסקה מלאה בגובה \frac{4}{3\pi}R. מרכז המסה של חצי קליפה כדורית בגובה \frac{1}{2}R. מרכז המסה של חצי כדור מלא בגובה \frac{3}{8}R. מרכז המסה של חרוט מלא בגובה H הוא \frac{1}{4}H.
מכניקה · פיתוח 8
מרכזי מסה - משולש, חצי קשת, חצי דסקה, חצי קליפה כדורית, חצי כדור מלא, חרוט מלא
ניסוח מלא
פתרון
אפשר לעשות את כל אחד מהפיתוחים בכמה דרכים שונות. נציג את את הפתרונות עם אינטגרלים ונציין איך לעשות בדרכים אחרות.
משולש: עבור צלע מסוימת נסתכל על המשולש כסכום של הרבה חתכים מקבילים לצלע. מרכז המסה של כל חתך כזה נמצא באמצע הצלע ולכן כל המרכזים נמצאים על התיכון מהצלע הזאת. לכן גם מרכז המסה הכולל נמצא על התיכון, ולכן מסימטריה הוא נמצא במפגש התיכונים.
חצי קשת: לפי אינטגרל:
y_{cm}=\frac{1}{M}\intop ydm=\frac{1}{M}\intop^{\pi}_{0}R\sin\theta\frac{M}{\pi}d\theta=\frac{R}{\pi}\intop^{\pi}_{0}\sin\theta d\theta=\frac{2R}{\pi}
כעת נחשב בדרך נוספת. אם נסובב את חצי הקשת בזווית d\theta, אז מרכז המסה יסתובב גם ב-d\theta ונוכל גם לחשב את ההסטה בציר x ישירות:
y_{cm}d\theta=dx=\frac{-R\cdot dm+\left(-R\right)\cdot dm}{M}=\frac{2d\theta}{\pi}R
y_{cm}=\frac{2R}{\pi}
חצי דסקה: נסמן את צפיפות המסה ב-\sigma. נעשה אינטגרל על חצאי קשתות:
y_{cm}=\frac{1}{M}\intop^{R}_{0}\frac{2r}{\pi}dm=\frac{1}{M}\intop^{R}_{0}\frac{2r}{\pi}\left(\sigma\cdot\pi rdr\right)=\frac{2\sigma R}{\sigma\cdot\frac{\pi}{2}R^{2}}\intop^{R}_{0}r^{2}dr=\frac{4}{3\pi}R
גם פה אפשר לחשב את מרכז המסה בשיטה הנוספת:
y_{cm}d\theta=dx=\frac{2\cdot\frac{2R}{3}dm}{M}=\frac{4}{3\pi}Rd\theta
y_{cm}=\frac{4}{3\pi}R
חצי קליפה כדורית: לפי משפט האבטיח שטח הפנים של קלפיה בעובי dz לא תלוי במיקום הקליפה. כלומר dm=M\frac{dz}{R}. נחשב:
\begin{align*}
z_{cm} & =\frac{1}{M}\intop^{R}_{0}zdm=\intop^{R}_{0}z\frac{dz}{R}=\frac{1}{R}\left(\frac{R^{2}}{2}\right)=\frac{R}{2}
\end{align*}
חצי כדור מלא: נסמן ב-\rho את צפיפות המסה ונבצע אינטגרציה על חצאי קליפות:
z_{cm}=\frac{1}{M}\intop^{R}_{0}\frac{r}{2}dm=\frac{1}{M}\intop^{R}_{0}\frac{r}{2}\left(\rho\cdot2\pi r^{2}dr\right)=\frac{\pi\rho}{\frac{2}{3}\pi R^{3}\rho}\intop^{R}_{0}r^{3}dr=\frac{3}{8}R
חרוט מלא: נסמן ב-R את הרדיוס התחתון של החרוט וב-\rho את הצפיפות שלו. נסמן ב-h את הגובה מתחת לקודקוד החרוט. אז r\left(h\right)=R\frac{h}{H}. נבצע אינטגרל כדי לחשב את גובה מרכז המסה מתחת לקודקוד:
\begin{align*}
H-z_{cm} & =\frac{1}{M}\intop^{H}_{0}hdm=\frac{1}{M}\intop^{H}_{0}h\left(\rho\cdot\pi r^{2}dh\right)=\frac{\pi R^{2}\rho}{\frac{1}{3}\pi R^{2}H\rho}\intop^{H}_{0}h\cdot\frac{h}{H}^{2}dh=\frac{3}{4}H
\end{align*}
z_{cm}=\frac{H}{4}
הערה: יש קיצור דרך שמאפשר למצוא את מרכז המסה של הצורות הדו ממדיות בעזרת משפט פאפוס - נפח גוף הסיבוב של צורה דו ממדית עם שטח A שמרכז המסה שלה עבר מרחק d הוא V=A\cdot d. לדוגמא עבור חצי דיסקה מלאה, אם נסובב אותה סביב בציר שלה סיבוב שלם נקבל כדור מלא ולכן:
\frac{4}{3}\pi R^{3}=V=A\cdot d=\frac{\pi R^{2}}{2}\cdot2\pi y_{cm}
y_{cm}=\frac{4}{3\pi}R
זה עובד גם בשביל החצי קשת (לפי שטח פנים של כדור), ועבור משולש מלא וריק (לפי נפח ושטח פנים של חרוט). ניתן גם להכליל את המשפט למימדים גבוהים יותר למי שמכיר נפח של צורות ב-4 מימד.
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.