מומנט התמד של מוט באורך L סביב מרכזו I=\frac{1}{12}ML^{2}. מומנט ההתמד של מלבן עם מימדים a,b סביב מרכזו I=\frac{1}{12}\left(a^{2}+b^{2}\right). מומנט ההתמד של דיסקה ברדיוס R סביב ציר מאונך העובר במרכז המסה I=\frac{1}{2}MR^{2} וסביב בתוך המישור העבור דרך מרכז המסה I=\frac{1}{4}MR^{2}. מומנט ההתמד של גליל מלא ברדיוס R ואורך L סביב ציר מאונך לציר הסימטריה העובר במרכזו הוא I=\frac{1}{12}ML^{2}+\frac{1}{4}MR^{2}. מומנט ההתמד של קליפה כדורית ברדיוס R סביב ציר העובר דרך המרכז I=\frac{2}{3}MR^{2}. מומנט ההתמד של כדור מלא סביב ציר העובר דרך המרכז I=\frac{2}{5}MR^{2}. מומנט ההתמד של משולש שווה צלעות מלא עם צלע a סביב מרכז המסה הוא I_{cm}=\frac{Ma^{2}}{12}.
מכניקה · פיתוח 9
מומנטי התמד - מוט, מלבן, דיסקה, גליל, ספרה, כדור
ניסוח מלא
פתרון
נציג את הדרך הקצרה ביותר לעשות את כל אחד מהחישובים ולפעמים גם דרך נוספת.
מוט: לפי אינטגרל:
I=\intop^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}x^{2}\frac{Mdx}{L}=\frac{M}{3L}\left[x^{3}\right]^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}=\frac{1}{12}ML^{2}
נעשה גם לפי שטיינר. נסמן את מומנט ההתמד סביב המרכז ב- I_{cm}=\alpha ML^{2} כאשר \alpha קבוע חסר יחידות שנרצה למצוא. אז משטיינר I_{edge}=\left(\alpha+\frac{1}{4}\right)ML^{2}. לכן:
I=2\cdot\left(\alpha+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^{2}
4\alpha=\left(\alpha+\frac{1}{4}\right)
\alpha=\frac{1}{12}
מלבן: לפי משפט הפנקייק:
I=I_{x}+I_{y}=\frac{1}{12}Mb^{2}+\frac{1}{12}Ma^{2}=\frac{1}{12}M\left(a^{2}+b^{2}\right)
דיסקה: עבור הציר המאונך למישור נחשב לפי טבעות:
I_{z}=\intop^{R}_{0}r^{2}\cdot\left(M\cdot\frac{2\pi rdr}{\pi R^{2}}\right)=\frac{M}{R^{2}}\intop^{R}_{0}2r^{3}dr=\frac{1}{2}MR^{2}
עבור ציר מקביל למישור, ממשפט הפנקייק וסימטריה בים הצירים בתוך המישור נקבל I_{z}=I_{x}+I_{y}=2I_{x} ולכן:
I_{x}=\frac{1}{2}I_{z}=\frac{1}{4}MR^{2}
גליל: נבצע אינטגרציה על דסקות בעזרת שטיינר:
I=\intop^{L/2}_{-L/2}dI\left(x\right)=\intop^{L/2}_{-L/2}\left(\frac{1}{4}dMR^{2}+dMx^{2}\right)=\frac{1}{4}MR^{2}+\frac{1}{12}ML^{2}
כאשר השתמשנו במומנט התמד של מוט כדי לעשות את האינטגרל.
ספרה: יש סימטריה בין הצירים, כלומר \intop x^{2}dm=\intop y^{2}dm=\intop z^{2}dm ולכן:
I=\intop\left(x^{2}+y^{2}\right)dm=\frac{2}{3}\intop\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dm=\frac{2}{3}\intop R^{2}dm=\frac{2}{3}MR^{2}
נעשה גם לפי אינטגרל על טבעות. ממשפט האבטיח dm=M\frac{dz}{2R}
I=\intop^{R}_{-R}\left(R^{2}-z^{2}\right)\frac{Mdz}{2R}=\frac{M}{2R}\left[R^{2}z-\frac{z^{3}}{3}\right]^{R}_{-R}=\frac{2}{3}MR^{2}
כדור: נעשה אינטגרל על קליפות כדוריות:
I=\intop^{R}_{0}\frac{2}{3}r^{2}\cdot M\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{2M}{R^{3}}\intop^{R}_{0}r^{4}dr=\frac{2}{5}MR^{2}
משולש: גובה התיכון הוא h=\frac{\sqrt{3}}{2}a. נחלק את המשולש לארבע משולשים דומים על ידי חיבור מרכזי הצלעות. מרכז המשולש האמצעי יתלכד עם מרכז המשולש הגדול והמרכזים האחרים יהיו בגובה \nicefrac{2}{3} תיכון, כלומר במרחק d=\frac{h}{3}=\frac{a}{2\sqrt{3}}. משיקולי מימדים מומנט ההתמד של כל אחד מהמשולשים הקטנים סביב מרכז המסה שלהם הוא \frac{1}{16}I_{cm}. אז משטיינר:
I_{cm}=\frac{I_{cm}}{16}+3\left(\frac{I_{cm}}{16}+\frac{M}{4}d^{2}\right)=\frac{I_{cm}}{4}+\frac{Ma^{2}}{16}
I_{cm}=\frac{Ma^{2}}{12}
ניסיונות וטבלת שיאים
אף אחד עוד לא פתר את הפיתוח הזה.
אין עדיין ניסיונות.